Fourierova serija vs Fourierova transformacija
Fourierov niz razlaže periodičnu funkciju na zbroj sinusa i kosinusa s različitim frekvencijama i amplitudama. Fourierova serija je grana Fourierove analize koju je uveo Joseph Fourier. Fourierova transformacija je matematička operacija koja razbija signal na njegove sastavne frekvencije. Izvorni signal koji se mijenjao tijekom vremena naziva se predstavljanje signala u vremenskoj domeni. Fourierova transformacija naziva se predstavljanjem signala u frekvencijskoj domeni, jer ona ovisi o frekvenciji. Zastupljenost signala u frekvencijskoj domeni i postupak korišten za transformaciju tog signala u frekvencijsku domenu nazivaju se Fourierovom transformacijom.
Što je Fourierova serija?
Kao što je ranije spomenuto, Fourierov niz je proširenje periodične funkcije pomoću beskonačnog zbroja sinusa i kosinusa. Fourierova serija u početku je razvijena tijekom rješavanja jednadžbi topline, no kasnije je utvrđeno da se ista tehnika može koristiti za rješavanje velikog broja matematičkih problema, posebno problema koji uključuju linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima. Sada, Fourierova serija ima primjenu u velikom broju područja, uključujući elektrotehniku, analizu vibracija, akustiku, optiku, obradu signala, obradu slike, kvantnu mehaniku i ekonometriju. Fourierovi nizovi koriste odnose ortogonalnosti sinusnih i kosinusnih funkcija. Proračun i proučavanje Fourierovih serija poznat je kao harmonijska analiza i vrlo je koristan u radu s proizvoljnim periodičkim funkcijama,budući da omogućuje raščlanjivanje funkcije na jednostavne izraze koji se mogu koristiti za dobivanje rješenja izvornog problema.
Što je Fourierova transformacija?
Fourierova transformacija definira odnos između signala u vremenskoj domeni i njegove zastupljenosti u frekvencijskoj domeni. Fourierova transformacija razlaže funkciju na oscilatorne funkcije. Budući da je ovo transformacija, izvorni signal može se dobiti poznavanjem transformacije, tako da se nikakve informacije ne stvaraju ili gube u procesu. Proučavanje Fourierovih serija zapravo daje motivaciju za Fourierovu transformaciju. Zbog svojstava sinusa i kosinusa moguće je oporaviti količinu svakog vala koji doprinosi zbroju pomoću integrala. Fourierova transformacija ima neka osnovna svojstva kao što su linearnost, translacija, modulacija, skaliranje, konjugacija, dualnost i konvolucija. Fourierova transformacija primjenjuje se u rješavanju diferencijalnih jednadžbi budući da je Fourierova transformacija usko povezana s Laplaceovom transformacijom. Fourierova se transformacija također koristi u nuklearnoj magnetskoj rezonanci (NMR) i u drugim vrstama spektroskopije.
Razlika između Fourierove serije i Fourierove transformacije
Fourierova serija je proširenje periodičnog signala kao linearna kombinacija sinusa i kosinusa, dok je Fourierova transformacija postupak ili funkcija koja se koristi za pretvaranje signala iz vremenske domene u frekvencijsku domenu. Fourierov niz definiran je za periodičke signale, a Fourierova se transformacija može primijeniti na aperiodične (koji se javljaju bez periodičnosti) signale. Kao što je gore spomenuto, proučavanje Fourierovih serija zapravo pruža motivaciju za Fourierovu transformaciju.
