Kardinal vs Redni
U našem svakodnevnom životu uporaba brojeva može imati različite oblike u različitim situacijama. Na primjer, kada računamo da bismo utvrdili veličinu zbirke predmeta, računamo ih kao jedan, dva, tri itd. Kad želimo nešto prebrojati da bismo stekli osjećaj položaja predmeta, računamo ih kao prvo, drugo, treće i tako dalje. U prvom obliku brojanja za brojeve se kaže da su kardinalni brojevi. U drugom obliku brojanja, brojevi se smatraju rednim brojevima. U tom su kontekstu pojmovi kardinalni i redni u potpunosti stvar lingvistike; kardinal i red su pridjevi.
Međutim, proširenje koncepta na skupove u matematici otkriva mnogo dublju i širu perspektivu i ne može se tretirati jednostavnim riječima. U ovom ćemo članku pokušati razumjeti temeljne pojmove kardinalnih i rednih brojeva u matematici.
Formalne definicije kardinalnih i rednih brojeva date su u teoriji skupova. Definicije su složene i za njihovo potpuno razumijevanje potrebno je pozadinsko znanje u teoriji skupova. Stoga ćemo se okrenuti prema nekoliko primjera, kako bismo koncepte razumjeli heuristički.
Razmotrimo dva kompleta {1,3,6,4,5,2} i {autobus, automobil, trajekt, vlak, avion, helikopter}. Svaki skup navodi skup elemenata, a ako izbrojimo broj elemenata, vidljivo je da svaki ima jednak broj elemenata, što je 6. Dolaskom do ovog zaključka uzeli smo veličinu jednog skupa i usporedili ga s drugim pomoću broj. Takav se broj naziva kardinalnim brojem. Stoga možemo reći da je kardinalni broj broj koji možemo upotrijebiti za usporedbu veličine konačnih skupova.
Ponovno se prvi niz brojeva može poredati u rastućem redoslijedu s obzirom na veličinu svakog elementa i njihovu usporedbu. U procesu naručivanja brojevi se smatraju kardinalima. Isto tako, skup svih nenegativnih cijelih brojeva može se poredati u skupu; tj. {0,1,2,3,4, …..}. Ali u ovom slučaju, veličina skupa postaje beskonačna i davanje u smislu ordinala nije moguće. Bez obzira na to koliko velik broj odaberete da biste odredili veličinu skupa, i dalje će iz skupa koji ste odabrali biti brojevi koji su negativni cijeli brojevi.
Stoga matematičari definiraju ovog beskonačnog kardinala (koji je prvi) kao Aleph-0, napisan kao א (prvo slovo u hebrejskoj abecedi). Formalno je redni broj vrsta narudžbe dobro uređenog skupa. Stoga se redni broj konačnih skupova može dati kardinalnim brojevima, ali za beskonačne skupove redni broj daje transfinitivni brojevi kao što je Aleph-0.
Koja je razlika između kardinalnih i rednih brojeva?
• Kardinalni broj je broj koji se može koristiti za brojanje ili za davanje veličine konačnog uređenog skupa. Svi su kardinalni brojevi redni.
• Redni brojevi su brojevi koji se koriste za određivanje veličine konačnih i beskonačnih uređenih skupova. Veličina konačnih uređenih skupova zadana je uobičajenim hindu-arapskim algebarskim brojevima, a beskonačna veličina skupova data je transfinitim brojevima.
