Paralelogram vs Pravokutnik
Paralelogram i pravokutnik su četverokuti. Geometrija tih likova bila je poznata čovjeku tisućama godina. Tema je izričito obrađena u knjizi "Elementi" koju je napisao grčki matematičar Euclid.
Paralelogram
Paralelogram se može definirati kao geometrijski lik s četiri stranice, sa suprotnim stranama paralelnim jedna drugoj. Točnije to je četverokut s dva para paralelnih stranica. Ova paralelna priroda paralelogramima daje mnoge geometrijske karakteristike.
Četverokut je paralelogram ako se pronađu sljedeće geometrijske karakteristike.
• Dva para suprotnih strana jednake su duljine. (AB = DC, AD = BC)
• Dva para suprotnih kutova jednake su veličine. (
)
• Ako su susjedni kutovi dopunski
• Par stranica koji se međusobno suprotstavljaju paralelni su i jednake duljine. (AB = DC i AB∥DC)
• Dijagonale se međusobno dijele na dvoje (AO = OC, BO = OD)
• Svaka dijagonala dijeli četverokut u dva sukladna trokuta. (∆ADB ≡ ∆BCD, ∆ABC ≡ ∆ADC)
Nadalje, zbroj kvadrata stranica jednak je zbroju kvadrata dijagonala. To se ponekad naziva paralelogramskim zakonom i ima široku primjenu u fizici i inženjerstvu. (AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 = AC 2 + BD 2)
Svaka od gore navedenih karakteristika može se koristiti kao svojstva, nakon što se utvrdi da je četverokut paralelogram.
Površina paralelograma može se izračunati umnoškom duljine jedne stranice i visine do suprotne strane. Stoga se površina paralelograma može navesti kao
Područje paralelograma = baza × visina = AB × h
Područje paralelograma neovisno je o obliku pojedinog paralelograma. Ovisi samo o duljini baze i okomitoj visini.
Ako se stranice paralelograma mogu predstaviti s dva vektora, područje se može dobiti veličinom vektorskog proizvoda (križnog proizvoda) dva susjedna vektora.
Ako su stranice AB i AD predstavljene vektorima (
), odnosno (
), površina paralelograma dana je s
gdje je α kut između
i
Slijede neka napredna svojstva paralelograma;
• Površina paralelograma dvostruko je veća od površine trokuta stvorene bilo kojom od njegovih dijagonala.
• Područje paralelograma podijeljeno je na pola bilo kojom crtom koja prolazi kroz središnju točku.
• Svaka nedegenerirana afinska transformacija vodi paralelogram do drugog paralelograma
• Paralelogram ima rotacijsku simetriju reda 2
• Zbroj udaljenosti od bilo koje unutarnje točke paralelograma do stranica neovisan je o mjestu točke
Pravokutnik
Četverokut s četiri prava kuta poznat je kao pravokutnik. Poseban je slučaj paralelograma gdje su kutovi između bilo koje dvije susjedne stranice pravi kutovi.
Uz sva svojstva paralelograma, mogu se prepoznati i dodatne karakteristike prilikom razmatranja geometrije pravokutnika.
• Svaki kut na vrhovima je pravi kut.
• Dijagonale su jednake duljine i međusobno se raspoređuju. Stoga su presječeni dijelovi također jednake duljine.
• Duljina dijagonala može se izračunati pomoću Pitagorinog teorema:
PQ 2 + PS 2 = SQ 2
• Formula površine smanjuje se na umnožak duljine i širine.
Površina pravokutnika = duljina × širina
• Na pravokutniku se nalaze mnoga simetrična svojstva, kao što su;
- Pravokutnik je ciklički, pri čemu se svi vrhovi mogu postaviti na obod kruga.
- Jednakokutan je, gdje su svi kutovi jednaki.
- Izogonalna je, gdje svi uglovi leže unutar iste simetrijske orbite.
- Ima i refleksijsku simetriju i rotacijsku simetriju.
Koja je razlika između paralelograma i pravokutnika?
• Paralelogram i pravokutnik su četverokuti. Pravokutnik je poseban slučaj paralelograma.
• Površina bilo kojeg se može izračunati pomoću formule baza × visina.
• Uzimajući u obzir dijagonale;
- Dijagonale paralelograma presijecaju jedna drugu, a paralelogram dijele dvosmjerno tako da tvore dva sukladna trokuta.
- Dijagonale pravokutnika jednake su dužine i međusobno se dijele na dva dijela; dvojeni presjeci jednake su duljine. Dijagonale dijele pravokutnik na dva sukladna pravokutna trokuta.
• Uzimajući u obzir unutarnje kutove;
- Suprotni unutarnji kutovi paralelograma jednaki su po veličini. Dva susjedna unutarnja kuta su dopunska
- Sva četiri unutarnja kuta pravokutnika su pravi kutovi.
• Uzimajući u obzir bočne strane;
- U paralelogramu je zbroj kvadrata stranica jednak zbroju kvadrata dijagonale (paralelogramski zakon)
- U pravokutnicima je zbroj kvadrata dviju susjednih stranica jednak kvadratu dijagonale na krajevima. (Pitagorino pravilo)
