Stanovništvo vs uzorak standardne devijacije
U statistici se nekoliko indeksa koristi za opisivanje skupa podataka koji odgovaraju njegovoj središnjoj tendenciji, disperziji i iskrivljenosti. Standardno odstupanje jedna je od najčešćih mjera rasipanja podataka iz središta skupa podataka.
Zbog praktičnih poteškoća neće biti moguće koristiti podatke iz cijele populacije kada se testira hipoteza. Stoga koristimo podatke iz uzoraka da bismo zaključili o populaciji. U takvoj se situaciji nazivaju procjenitelji, jer procjenjuju vrijednosti parametara populacije.
Izuzetno je važno koristiti nepristrane procjenitelje u zaključivanju. Za procjenitelja se kaže da je nepristran ako je očekivana vrijednost tog procjenitelja jednaka parametru populacije. Na primjer, srednju vrijednost uzorka koristimo kao nepristrani procjenitelj srednje vrijednosti populacije. (Matematički se može pokazati da je očekivana vrijednost srednje vrijednosti uzorka jednaka prosjeku populacije). U slučaju procjene standardne devijacije populacije, standardna devijacija uzorka također je nepristrana procjena.
Što je standardna devijacija stanovništva?
Kada se mogu uzeti u obzir podaci iz cijele populacije (na primjer u slučaju popisa), moguće je izračunati standardnu devijaciju stanovništva. Da bi se izračunalo standardno odstupanje populacije, prvo se izračunavaju odstupanja vrijednosti podataka od srednje vrijednosti stanovništva. Srednji kvadrat (kvadratna sredina) odstupanja naziva se standardna devijacija populacije.
U razredu od 10 učenika mogu se lako prikupiti podaci o učenicima. Ako se hipoteza testira na ovoj populaciji učenika, tada nema potrebe za korištenjem vrijednosti uzorka. Na primjer, mjere se težine 10 učenika (u kilogramima) koje su 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 i 79. Tada je prosječna težina deset osoba (u kilogramima) (70 + 62 + 65 + 72 + 80 + 70 + 63 + 72 + 77 + 79) / 10, što je 71 (u kilogramima). Ovo je prosjek stanovništva.
Sada za izračunavanje standardne devijacije populacije izračunavamo odstupanja od srednje vrijednosti. Odstupanja od srednje vrijednosti su (70 - 71) = -1, (62 - 71) = -9, (65 - 71) = -6, (72 - 71) = 1, (80 - 71) = 9, (70 - 71) = -1, (63 - 71) = -8, (72 - 71) = 1, (77 - 71) = 6 i (79 - 71) = 8. Zbroj kvadrata odstupanja je (-1) 2 + (-9) 2 + (-6) 2 + 1 2 + 9 2 + (-1) 2 + (-8) 2 + 1 2 + 6 2 + 8 2 = 366. Standardna devijacija populacije je √ (366/10) = 6,05 (u kilogramima). 71 je točna srednja težina učenika razreda, a 6,05 je točna standardna devijacija težine od 71.
Što je standardna devijacija uzorka?
Kada se podaci iz uzorka (veličine n) koriste za procjenu parametara populacije, izračunava se standardna devijacija uzorka. Prvo se izračunavaju odstupanja vrijednosti podataka od srednje vrijednosti uzorka. Budući da se srednja vrijednost uzorka koristi umjesto srednje vrijednosti populacije (što je nepoznato), uzimanje kvadratne sredine nije prikladno. Da bi se nadoknadila upotreba srednje vrijednosti uzorka, zbroj kvadrata odstupanja dijeli se s (n-1) umjesto s n. Uzorak standardne devijacije kvadratni je korijen iz toga. U matematičkim simbolima S = √ {∑ (x i -ẍ) 2 / (n-1)}, gdje je S standardna devijacija uzorka, ẍ srednja vrijednost uzorka, a x i točke podataka.
Sada pretpostavimo da su u prethodnom primjeru stanovništvo učenici cijele škole. Tada će razred biti samo uzorak. Ako se ovaj uzorak koristi u procjeni, standardna devijacija uzorka bit će √ (366/9) = 6,38 (u kilogramima) jer je 366 podijeljeno s 9 umjesto sa 10 (veličina uzorka). Činjenica koju treba primijetiti je da ovo nije zajamčena točna vrijednost standardne devijacije populacije. To je samo procjena za to.
Koja je razlika između standardne devijacije populacije i standardne devijacije uzorka?
• Standardna devijacija populacije točna je vrijednost parametra koja se koristi za mjerenje disperzije od središta, dok je standardna devijacija uzorka nepristrana procjena za nju.
• Standardna devijacija stanovništva izračunava se kada su poznati svi podaci koji se odnose na svakog pojedinca populacije. Inače, izračunava se standardna devijacija uzorka.
• Standardna devijacija populacije daje se s σ = √ {∑ (xi-µ) 2 / n} gdje je µ srednja vrijednost populacije, a n je veličina populacije, ali uzorak standardne devijacije daje S = √ {∑ (xi-ẍ) 2 / (n-1)} gdje je mean srednja vrijednost uzorka, a n veličina uzorka.
