Asocijativni vs Komutativni
U svakodnevnom životu moramo se služiti brojevima kad god nam je potrebno za mjerenje nečega. U trgovini, na benzinskoj postaji, pa čak i u kuhinji, moramo zbrojiti, oduzeti i pomnožiti dvije ili više količina. Iz svoje prakse ove izračune izvodimo prilično bez napora. Nikada ne primjećujemo i ne preispitujemo zašto radimo ove operacije na taj način. Ili zašto se ti izračuni ne mogu izvršiti na drugačiji način. Odgovor se krije u načinu na koji su ove operacije definirane u matematičkom polju algebre.
U algebri se operacija koja uključuje dvije veličine (poput zbrajanja) definira kao binarna operacija. Točnije, to je operacija između dva elementa iz skupa i ti se elementi nazivaju "operand". Mnoge operacije u matematici, uključujući ranije spomenute aritmetičke operacije i one koje se susreću u teoriji skupova, linearnoj algebri i matematičkoj logici, mogu se definirati kao binarne operacije.
Postoji niz upravljačkih pravila koja se odnose na određenu binarnu operaciju. Asocijativna i komutativna svojstva dva su temeljna svojstva binarnih operacija.
Više o komutativnom svojstvu
Pretpostavimo da se neka binarna operacija, označena simbolom ⊗, izvodi na elementima A i B. Ako redoslijed operanda ne utječe na rezultat operacije, tada se kaže da je operacija komutativna. tj. ako je A ⊗ B = B ⊗ A tada je operacija komutativna.
Aritmetičke operacije zbrajanja i množenja su komutativne. Redoslijed zbrajanja ili množenja brojeva ne utječe na konačni odgovor:
A + B = B + A ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9
A × B = B × A ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20
Ali u slučaju podjele promjena u redoslijedu daje recipročnu vrijednost druge, a u oduzimanju promjena daje negativnu vrijednost druge. Stoga, A - B ≠ B - A ⇒ 4 - 5 = -1 i 5 - 4 = 1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 i 5 ÷ 4 = 1,25 [u ovom slučaju A, B ≠ 1 i 0]
Zapravo se kaže da je oduzimanje antikomutativno; gdje je A - B = - (B - A).
Također, logične veze, konjunkcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija također su komutativne. Funkcije istine su također komutativne. Skup operacija skupa i sjecište su komutativni. Zbrajanje i skalarni umnožak vektora također su komutativni.
Ali vektorsko oduzimanje i vektorski umnožak nisu komutativni (vektorski umnožak dva vektora je antikomutativan). Zbrajanje matrice je komutativno, ali množenje i oduzimanje nisu komutativno. (Množenje dviju matrica može biti komutativno u posebnim slučajevima, kao što je množenje matrice s njezinom inverznom ili identitetskom matricom; ali definitivno matrice nisu komutativne ako matrice nisu iste veličine)
Više o udruženom vlasništvu
Za binarnu operaciju kaže se da je asocijativna ako redoslijed izvršenja ne utječe na rezultat kada su prisutna dva ili više pojavljivanja operatora. Razmotrimo elemente A, B i C i binarnu operaciju ⊗. Kaže se da je operacija associ asocijativna ako
A ⊗ B ⊗ C = A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C
Od osnovnih aritmetičkih funkcija asocijativni su samo zbrajanje i množenje.
A + (B + C) = (A + B) + C ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12
A × (B × C) = (A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60
Oduzimanje i dijeljenje nisu asocijativni;
A - (B - C) ≠ (A - B) - C ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 i (5 - 4) - 3 = -2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 i (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666
Disjunkcija, konjunkcija i ekvivalencija logičkih veziva su asocijativni, kao i skup operacija, unija i presjek. Matrica i zbrajanje vektora su asocijativni. Skalarni proizvod vektora je asocijativan, ali vektorski proizvod nije. Množenje matrica asocijativno je samo u posebnim okolnostima.
Koja je razlika između komutativnog i asocijativnog svojstva?
• I asocijativno svojstvo i komutativno svojstvo posebna su svojstva binarnih operacija, a neka ih zadovoljavaju, a neka ne.
• Ta se svojstva mogu vidjeti u mnogim oblicima algebarskih operacija i drugim binarnim operacijama u matematici, kao što su presjek i spajanje u teoriji skupova ili logičke veze.
• Razlika između komutativnog i asocijativnog jest u tome što komutativno svojstvo navodi da redoslijed elemenata ne mijenja konačni rezultat, dok asocijativno svojstvo navodi da redoslijed izvođenja operacije ne utječe na konačni odgovor.
