Diskretna funkcija vs kontinuirana funkcija
Funkcije su jedna od najvažnijih klasa matematičkih objekata koja se intenzivno koristi u gotovo svim područima matematike. Kako njihova imena sugeriraju da su i diskretne funkcije i kontinuirane funkcije dvije posebne vrste funkcija.
Funkcija je odnos između dva skupa definirana na takav način da je za svaki element u prvom skupu vrijednost koja mu odgovara u drugom skupu jedinstvena. Neka je f funkcija definirana iz skupa A u skup B. Tada za svaki x ϵ A simbol f (x) označava jedinstvenu vrijednost u skupu B koja odgovara x. Zove se slika x pod f. Stoga je relacija f iz A u B funkcija, ako i samo ako za, svaki xϵ A i y ϵ A; ako je x = y onda je f (x) = f (y). Skup A naziva se domena funkcije f i to je skup u kojem je funkcija definirana.
Na primjer, razmotrite odnos f od R prema R definiran f (x) = x + 2 za svaki xϵ A. Ovo je funkcija čija je domena R, jer za svaki stvarni broj x i y x = y podrazumijeva f (x) = x + 2 = y + 2 = f (y). Ali odnos g od N prema N definiran g (x) = a, gdje je 'a' prosti čimbenici x, nije funkcija kao g (6) = 3, kao i g (6) = 2.
Što je diskretna funkcija?
Diskretna funkcija je funkcija čija je domena najviše izbrojiva. To jednostavno znači da je moguće napraviti popis koji uključuje sve elemente domene.
Bilo koji konačni skup je najviše izbrojiv. Skup prirodnih brojeva i skup racionalnih brojeva primjeri su za najviše brojivih beskonačnih skupova. Skup realnih brojeva i skup iracionalnih brojeva nisu najviše izbrojivi. Oba seta su nebrojiva. To znači da je nemoguće sastaviti popis koji uključuje sve elemente tih skupova.
Jedna od najčešćih diskretnih funkcija je faktoristička funkcija. f: NU {0} → N rekurzivno definirano f (n) = nf (n-1) za svaki n ≥ 1 i f (0) = 1 naziva se faktorijelna funkcija. Primijetite da je njegova domena NU {0} najviše izbrojiva.
Što je kontinuirana funkcija?
Neka je f takva funkcija da je za svaki k u domeni f, f (x) → f (k) kao x → k. Tada je f kontinuirana funkcija. To znači da je moguće f (x) proizvoljno približiti f (k) tako da x napravimo dovoljno blizu k za svaki k u domeni f.
Razmotrimo funkciju f (x) = x + 2 na R. Vidljivo je da je kao x → k, x + 2 → k + 2 koja je f (x) → f (k). Stoga je f kontinuirana funkcija. Sada uzmite u obzir g na pozitivnim realnim brojevima g (x) = 1 ako je x> 0 i g (x) = 0 ako je x = 0. Tada ova funkcija nije kontinuirana funkcija jer ne postoji ograničenje g (x) (i stoga nije jednako g (0)) kao x → 0.
Koja je razlika između diskretne i kontinuirane funkcije?
• Diskretna funkcija je funkcija čija je domena najviše izbrojiva, ali to ne mora biti slučaj u kontinuiranim funkcijama.
• Sve kontinuirane funkcije ƒ imaju svojstvo da ƒ (x) → ƒ (k) kao x → k za svaki x i za svaki k u domeni ƒ, ali to nije slučaj u nekim diskretnim funkcijama.
