Funkcija raspodjele vjerojatnosti naspram funkcije gustoće vjerojatnosti
Vjerojatnost je vjerojatnost da se događaj dogodi. Ova je ideja vrlo česta i često se koristi u svakodnevnom životu kada procjenjujemo svoje mogućnosti, transakcije i mnoge druge stvari. Proširivanje ovog jednostavnog koncepta na veći skup događaja malo je izazovnije. Primjerice, ne možemo lako shvatiti šanse za dobitak na lutriji, ali zgodno je, prilično intuitivno, reći da postoji vjerojatnost da će jedan od šest dobiti bacanje kockice broj šest.
Kada broj događaja koji se mogu dogoditi postaje veći ili je broj pojedinačnih mogućnosti velik, ova prilično jednostavna ideja vjerojatnosti propada. Stoga mu treba dati čvrstu matematičku definiciju prije pristupanja problemima veće složenosti.
Kada je broj događaja koji se mogu dogoditi u jednoj situaciji velik, nemoguće je svaki događaj promatrati pojedinačno kao u primjeru bačenih kockica. Stoga se čitav skup događaja sažima uvođenjem koncepta slučajne varijable. To je varijabla koja može pretpostaviti vrijednosti različitih događaja u određenoj situaciji (ili prostoru uzorka). Daje matematički smisao jednostavnim događajima u situaciji i matematički način rješavanja događaja. Točnije, slučajna varijabla je stvarna vrijednost vrijednosti nad elementima prostora uzorka. Slučajne varijable mogu biti diskretne ili kontinuirane. Obično se označavaju velikim slovima engleske abecede.
Funkcija raspodjele vjerojatnosti (ili jednostavno, raspodjela vjerojatnosti) je funkcija koja dodjeljuje vrijednosti vjerojatnosti za svaki događaj; tj. pruža odnos s vjerojatnostima za vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti. Funkcija raspodjele vjerojatnosti definirana je za diskretne slučajne varijable.
Funkcija gustoće vjerojatnosti ekvivalent je funkciji raspodjele vjerojatnosti za kontinuirane slučajne varijable, daje vjerojatnost da neka slučajna varijabla poprimi određenu vrijednost.
Ako je X diskretna slučajna varijabla, funkcija dana kao f (x) = P (X = x) za svaki x unutar raspona X naziva se funkcijom raspodjele vjerojatnosti. Funkcija može poslužiti kao funkcija raspodjele vjerojatnosti onda i samo ako funkcija zadovoljava sljedeće uvjete.
1. f (x) ≥ 0
2. ∑ f (x) = 1
Funkcija f (x) koja je definirana preko skupa realnih brojeva naziva se funkcijom gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X, ako i samo ako,
P (a ≤ x ≤ b) = a ∫ b f (x) dx za bilo koje stvarne konstante a i b.
Funkcija gustoće vjerojatnosti trebala bi udovoljavati i sljedećim uvjetima.
1. f (x) ≥ 0 za sve x: -∞ <x <+ ∞
2. -∞ ∫ + ∞ f (x) dx = 1
I funkcija raspodjele vjerojatnosti i funkcija gustoće vjerojatnosti koriste se za predstavljanje raspodjele vjerojatnosti na prostoru uzorka. Obično se to nazivaju raspodjelom vjerojatnosti.
Za statističko modeliranje izvedene su standardne funkcije gustoće vjerojatnosti i funkcije raspodjele vjerojatnosti. Normalna raspodjela i standardna normalna raspodjela primjeri su kontinuirane raspodjele vjerojatnosti. Binomna raspodjela i Poissonova raspodjela primjeri su diskretne raspodjele vjerojatnosti.
Koja je razlika između raspodjele vjerojatnosti i funkcije gustoće vjerojatnosti?
• Funkcija raspodjele vjerojatnosti i funkcija gustoće vjerojatnosti funkcije su definirane u prostoru uzorka za dodjeljivanje relevantne vrijednosti vjerojatnosti svakom elementu.
• Funkcije raspodjele vjerojatnosti definirane su za diskretne slučajne varijable, dok su funkcije gustoće vjerojatnosti definirane za kontinuirane slučajne varijable.
• Raspodjela vrijednosti vjerojatnosti (tj. Raspodjele vjerojatnosti) najbolje se prikazuje funkcijom gustoće vjerojatnosti i funkcijom raspodjele vjerojatnosti.
• Funkcija raspodjele vjerojatnosti može se predstaviti kao vrijednosti u tablici, ali to nije moguće za funkciju gustoće vjerojatnosti jer je varijabla kontinuirana.
• Kada se crta, funkcija raspodjele vjerojatnosti daje grafikon, dok funkcija gustoće vjerojatnosti daje krivulju.
• Visina / duljina šipki funkcije raspodjele vjerojatnosti mora se zbrojiti s 1, dok površina ispod krivulje funkcije gustoće vjerojatnosti mora se zbrojiti s 1.
• U oba slučaja sve vrijednosti funkcije moraju biti negativne.
