Power Series vs Taylor Series
U matematici je stvarni niz uređeni popis stvarnih brojeva. Formalno, to je funkcija od skupa prirodnih brojeva do skupa realnih brojeva. Ako je a n n- ti član niza, niz označavamo s ili s 1, a 2, …, a n, …. Na primjer, uzmimo u obzir niz 1, ½, ⅓,…, 1 / n, … Može se označiti kao {1 / n}.
Seriju je moguće definirati pomoću sekvenci. Niz je zbroj pojmova niza. Stoga za svaki slijed postoji pridruženi slijed i obrnuto. Ako je {a n} slijed koji se razmatra, tada se niz formiran tim nizom može predstaviti kao:
Tako, u gornjem primjeru, povezana serija 1+ 1 / 2 + 1 / 3 + … + 1 / n + ….
Kao što imena sugeriraju, red snage je posebna vrsta serija i opsežno se koristi u numeričkoj analizi i srodnom matematičkom modeliranju. Taylor serija posebna je serija snage koja pruža alternativni i jednostavan način predstavljanja dobro poznatih funkcija.
Što je Power serija?
Niz snage je niz oblika
što je konvergentno (moguće) za neki interval centriran na c. Koeficijenti a n mogu biti stvarni ili složeni brojevi i neovisni su od x; tj. dummy varijabla.
Na primjer, postavljanjem n = 1 za svaki n i c = 0, dobiva se red snage 1 + x + x 2 +….. + x n +…. Lako je primijetiti da kada je x ε (-1,1), ovaj red snage konvergira u 1 / (1-x).
Niz snage konvergira kada je x = c. Ostale vrijednosti x za koje se potencijski niz konvergira uvijek će imati oblik otvorenog intervala usredotočenog na c. Odnosno, postojat će vrijednost 0≤ R ≤ ∞ takva da je za svaki x koji zadovoljava | xc | ≤ R, energetski niz konvergentan i za svaki x koji zadovoljava | xc |> R, red snage je divergentni. Ova vrijednost R naziva se radijus konvergencije energetskog niza (R može imati bilo koju stvarnu vrijednost ili pozitivnu beskonačnost).
Nizovi snage mogu se zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti pomoću sljedećih pravila. Razmotrimo dvije energetske serije:
Zatim,
tj. slični se pojmovi zbrajaju ili oduzimaju. Također je moguće pomnožiti i podijeliti dvije serije potencija koristeći identitet,
Što je Taylor serija?
Taylorov niz definiran je za funkciju f (x) koja se beskonačno diferencira na intervalu. Pretpostavimo da se f (x) može razlikovati na intervalu usredotočenom na c. Zatim red snaga koji je dan s
naziva se Taylorov niz proširenja funkcije f (x) oko c. (Ovdje f (n) (c) označava n- ti izvod u x = c). U Numeričkoj analizi, konačni broj članaka u ovom beskonačnom proširenju koristi se za izračunavanje vrijednosti u točkama u kojima je niz konvergentan izvornoj funkciji.
Za funkciju f (x) kaže se da je analitička u intervalu (a, b), ako za svaki x ε (a, b) Taylorov niz f (x) konvergira u funkciju f (x). Na primjer, 1 / (1-x) je analitički na (-1,1), budući da njegovo Taylorovo proširenje 1 + x + x 2 + ….. + x n + … konvergira u funkciju na tom intervalu, a e x je svugdje analitičan, jer Taylorov niz e x konvergira u e x za svaki stvarni broj x.
Koja je razlika između Power serija i Taylorovih serija?
1. Taylorova serija je posebna klasa energetskih serija definirana samo za funkcije koje se mogu beskonačno razlikovati na nekom otvorenom intervalu.
2. Taylorove serije imaju poseban oblik
dok, potencijski niz može biti bilo koji niz oblika
