Razlika Između Power Serija I Taylorovih Serija

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-09 22:10

Power Series vs Taylor Series

U matematici je stvarni niz uređeni popis stvarnih brojeva. Formalno, to je funkcija od skupa prirodnih brojeva do skupa realnih brojeva. Ako je a _n n- ^ti član niza, niz označavamo s ili s ₁, a ₂, …, a _n, …. Na primjer, uzmimo u obzir niz 1, ½, ⅓,…, ¹ / _n, … Može se označiti kao {1 / n}.

Seriju je moguće definirati pomoću sekvenci. Niz je zbroj pojmova niza. Stoga za svaki slijed postoji pridruženi slijed i obrnuto. Ako je {a _n} slijed koji se razmatra, tada se niz formiran tim nizom može predstaviti kao:

Tako, u gornjem primjeru, povezana serija 1+ ¹ / ₂ + ¹ / ₃ + … + ¹ / _n + ….

Kao što imena sugeriraju, red snage je posebna vrsta serija i opsežno se koristi u numeričkoj analizi i srodnom matematičkom modeliranju. Taylor serija posebna je serija snage koja pruža alternativni i jednostavan način predstavljanja dobro poznatih funkcija.

Što je Power serija?

Niz snage je niz oblika

što je konvergentno (moguće) za neki interval centriran na c. Koeficijenti a _n mogu biti stvarni ili složeni brojevi i neovisni su od x; tj. dummy varijabla.

Na primjer, postavljanjem _n = 1 za svaki n i c = 0, dobiva se red snage 1 + x + x ² +….. + x ⁿ +…. Lako je primijetiti da kada je x ε (-1,1), ovaj red snage konvergira u 1 / (1-x).

Niz snage konvergira kada je x = c. Ostale vrijednosti x za koje se potencijski niz konvergira uvijek će imati oblik otvorenog intervala usredotočenog na c. Odnosno, postojat će vrijednost 0≤ R ≤ ∞ takva da je za svaki x koji zadovoljava | xc | ≤ R, energetski niz konvergentan i za svaki x koji zadovoljava | xc |> R, red snage je divergentni. Ova vrijednost R naziva se radijus konvergencije energetskog niza (R može imati bilo koju stvarnu vrijednost ili pozitivnu beskonačnost).

Nizovi snage mogu se zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti pomoću sljedećih pravila. Razmotrimo dvije energetske serije:

Zatim,

tj. slični se pojmovi zbrajaju ili oduzimaju. Također je moguće pomnožiti i podijeliti dvije serije potencija koristeći identitet,

Što je Taylor serija?

Taylorov niz definiran je za funkciju f (x) koja se beskonačno diferencira na intervalu. Pretpostavimo da se f (x) može razlikovati na intervalu usredotočenom na c. Zatim red snaga koji je dan s

naziva se Taylorov niz proširenja funkcije f (x) oko c. (Ovdje f ⁽ⁿ⁾ (c) označava n- ^ti izvod u x = c). U Numeričkoj analizi, konačni broj članaka u ovom beskonačnom proširenju koristi se za izračunavanje vrijednosti u točkama u kojima je niz konvergentan izvornoj funkciji.

Za funkciju f (x) kaže se da je analitička u intervalu (a, b), ako za svaki x ε (a, b) Taylorov niz f (x) konvergira u funkciju f (x). Na primjer, 1 / (1-x) je analitički na (-1,1), budući da njegovo Taylorovo proširenje 1 + x + x ² + ….. + x ⁿ + … konvergira u funkciju na tom intervalu, a e ^x je svugdje analitičan, jer Taylorov niz e ^x konvergira u e ^x za svaki stvarni broj x.