Riemann Integral vs Lebesgue Integral
Integracija je glavna tema u računu. U širem smislu, integracija se može promatrati kao obrnuti proces diferencijacije. Kada se modeliraju problemi iz stvarnog svijeta, lako je pisati izraze koji uključuju izvedenice. U takvoj je situaciji operacija integracije potrebna za pronalaženje funkcije koja je dala određeni derivat.
Iz drugog kuta, integracija je postupak koji sažima umnožak funkcije ƒ (x) i δx, gdje δx nastoji biti određena granica. Zbog toga simbol integracije koristimo kao ∫. Simbol ∫ zapravo je ono što dobivamo rastezanjem slova s da bismo se odnosili na zbroj.
Riemann Integral
Razmotrimo funkciju y = ƒ (x). Integral y između a i b, gdje a i b pripadaju skupu x, zapisuje se kao b ∫ a ƒ (x) dx = [F (x)] a → b = F (b) - F (a). To se naziva definitivnim integralom jednoznačne i kontinuirane funkcije y = ƒ (x) između a i b. To daje površinu ispod krivulje između a i b. To se naziva i Riemannov integral. Riemannov integral stvorio je Bernhard Riemann. Riemannov integral kontinuirane funkcije temelji se na Jordanovoj mjeri, pa je stoga definiran i kao granica Riemannovih zbrojeva funkcije. Za stvarnu vrijednost funkcije definirane na zatvorenom intervalu, Riemannov integral funkcije s obzirom na particiju x 1, x 2,…, x ndefinirano na intervalu [a, b] i t 1, t 2,…, t n, gdje je x i ≤ t i ≤ x i + 1 za svaki i ε {1, 2,…, n}, definirana je Riemannova suma kao Σ i = o do n-1 ƒ (t i) (x i + 1 - x i).
Lebesgueov integralni
Lebesgue je druga vrsta integrala koja pokriva širok spektar slučajeva nego što to čini Riemannov integral. Integral lebesguea uveo je Henri Lebesgue 1902. Legesgue integracija može se smatrati generalizacijom Riemannove integracije.
Zašto trebamo proučavati još jedan integral?
Razmotrimo karakterističnu funkciju ƒ A (x) = { 0 ako je x ne ε A 1 ako je x ε A na skupu A. Tada konačna linearna kombinacija karakterističnih funkcija koja je definirana kao F (x) = Σ a i ƒ E i (x) naziva se jednostavnom funkcijom ako je E i mjerljiva za svaki i. Lebesgueov integral F (x) nad E označava se s E ∫ ƒ (x) dx. Funkcija F (x) nije Riemannovo integrirana. Stoga je Lebesgueov integral preformulirani Riemannov integral, koji ima određena ograničenja u funkcijama koje treba integrirati.
Koja je razlika između Riemann Integrala i Lebesgue Integrala?
· Lebesgueov integral je uopćeni oblik Riemannovog integrala.
· Lebesgueov integral dopušta izbrojivu beskonačnost diskontinuiteta, dok Riemannov integral omogućuje konačan broj diskontinuiteta.
