Logaritamsko vs eksponencijalno | Eksponencijalna funkcija vs logaritamska funkcija
Funkcije su jedna od najvažnijih klasa matematičkih objekata koja se intenzivno koristi u gotovo svim potpoljima matematike. Kako njihova imena sugeriraju i eksponencijalna i logaritamska funkcija dvije su posebne funkcije.
Funkcija je odnos između dva skupa definirana na takav način da je za svaki element u prvom skupu vrijednost koja mu odgovara u drugom skupu jedinstvena. Neka je ƒ funkcija definirana iz skupa A u skup B. Tada za svaki x ϵ A, simbol ƒ (x) označava jedinstvenu vrijednost u skupu B koja odgovara x. Zove se slika x pod ƒ. Stoga je relacija ƒ iz A u B funkcija, ako i samo ako, za svaki x ϵ A i y ϵ A, ako je x = y, tada ƒ (x) = ƒ (y). Skup A naziva se domena funkcije ƒ, a to je skup u kojem je funkcija definirana.
Što je eksponencijalna funkcija?
Eksponencijalna funkcija je funkcija zadana s ƒ (x) = e x, gdje je e = lim (1 + 1 / n) n (≈ 2.718…) i transcendentalni je iracionalan broj. Jedna od posebnosti funkcije je ta što je izvod funkcije jednak samom sebi; tj. kada je y = e x, dy / dx = e x. Također, funkcija je posvuda kontinuirano rastuća funkcija koja ima x-os kao asimptotu. Stoga je i funkcija jedan-na-jedan. Za svaki x ϵ R imamo e x > 0 i može se pokazati da je na R +. Također, slijedi osnovni identitet e x + y = e x.e y i e 0= 1. Funkcija se također može predstaviti pomoću proširenja niza datog 1 + x / 1! + X 2 /2! + X 3 / za 3! +… + X n / n! +…
Što je logaritamska funkcija?
Logaritamska funkcija je inverzna eksponencijalnoj funkciji. Budući da je eksponencijalna funkcija jedan na jedan i na R +, funkcija g može se definirati iz skupa pozitivnih realnih brojeva u skup realnih brojeva zadanih g (y) = x, ako i samo ako je y = e x. Ova se funkcija g naziva logaritamska funkcija ili najčešće prirodni logaritam. Označava se s g (x) = log e x = ln x. Budući da je riječ o inverzi eksponencijalne funkcije, uzmemo li odraz grafa eksponencijalne funkcije preko crte y = x, tada ćemo imati graf logaritamske funkcije. Dakle, funkcija je asimptotska osi y.
Logaritamska funkcija slijedi neka osnovna pravila od kojih su ln xy = ln x + ln y, ln x / y = ln x - ln y i ln xy = y ln x. Ovo je također sve veća funkcija i ona je svugdje kontinuirana. Stoga je i jedan-na-jedan. Može se pokazati da je na R.
Koja je razlika između eksponencijalne funkcije i logaritamske funkcije?
• Eksponencijalna funkcija dana je s ƒ (x) = e x, dok je logaritamska funkcija dana s g (x) = ln x, a prva je obrnuta od druge.
• Domena eksponencijalne funkcije je skup realnih brojeva, ali je domena logaritamske funkcije skup pozitivnih realnih brojeva.
• Raspon eksponencijalne funkcije skup je pozitivnih realnih brojeva, ali opseg logaritamske funkcije skup realnih brojeva.
