Razlika Između Izvedenice I Razlike

2024 Autor: Mildred Bawerman | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-16 08:39

Derivatni vs diferencijalni

U diferencijalnom računu, izvedenica i diferencijal funkcije su usko povezane, ali imaju vrlo različita značenja i koriste se za predstavljanje dva važna matematička objekta povezana s diferencijabilnim funkcijama.

Što je izvedenica?

Derivat funkcije mjeri brzinu kojom se vrijednost funkcije mijenja kako se mijenja njezin ulaz. U funkcijama s više varijabli, promjena vrijednosti funkcije ovisi o smjeru promjene vrijednosti neovisnih varijabli. Stoga se u takvim slučajevima bira određeni smjer i funkcija se diferencira u tom određenom smjeru. Taj se derivat naziva usmjerenim derivatom. Djelomični derivati posebna su vrsta usmjerenih derivata.

Izvedenica vektorski vrijedne funkcije f može se definirati kao granica

gdje god konačno postojala. Kao što je prije spomenuto, ovo nam daje brzinu povećanja funkcije f duž smjera vektora u. U slučaju jednoznačne funkcije, to se svodi na poznatu definiciju izvoda,

Na primjer,

svugdje se može diferencirati, a izvedenica je jednaka granici

koja je jednaka

. Izvodi funkcija kakve

postoje svugdje. Oni su jednaki funkcijama

Ovo je poznato kao prva izvedenica. Obično se prvi izvod funkcije f označava s f ⁽¹⁾. Pomoću ove oznake moguće je definirati derivate višeg reda.

je izvedbeni smjer drugog reda i označavajući n- ^ti izvod f ⁽ⁿ⁾ za svaki n

definira n- ^ti izvod.

Što je diferencijal?

Diferencijal funkcije predstavlja promjenu funkcije s obzirom na promjene u neovisnoj varijabli ili varijablama. U uobičajenom oznake za određenu funkciju f jedne varijable x, ukupna razlika od reda 1 df daje,

. To znači da će za infinitezimalnu promjenu x (tj. Dx) doći do promjene af ⁽¹⁾ (x) dx u f.

Koristeći ograničenja, na kraju se može dobiti ova definicija kako slijedi. Pretpostavimo da je ∆ x promjena x u proizvoljnoj točki x i da je f odgovarajuća promjena funkcije f. Može se pokazati da je ∆ f = f ⁽¹⁾ (x) ∆ x + ϵ, gdje je ϵ pogreška. Sada je ograničenje ∆ x → 0 ^{∆ f} / _{∆ x} = f ⁽¹⁾ (x) (koristeći prethodno navedenu definiciju derivata) i na taj način, ∆ x → 0 ^ϵ / _{∆ x} = 0. Stoga je moguće zaključimo da je ∆ x → 0 ϵ = 0. Sada, označavajući ∆ x → 0 ∆ f kao df i ∆ x → 0 ∆ x kao dx, definicija diferencijala se rigorozno dobiva.

Na primjer, diferencijal funkcije

je

U slučaju funkcija dviju ili više varijabli, ukupni diferencijal funkcije definira se kao zbroj diferencijala u smjerovima svake od neovisnih varijabli. Matematički se to može reći kao

Koja je razlika između izvedenice i razlike?

• Izvedenica se odnosi na brzinu promjene funkcije, dok se razlika odnosi na stvarnu promjenu funkcije, kada je neovisna varijabla podvrgnuta promjeni.

• Izvod je dan s

ali diferencijal je s