Derivatni vs diferencijalni
U diferencijalnom računu, izvedenica i diferencijal funkcije su usko povezane, ali imaju vrlo različita značenja i koriste se za predstavljanje dva važna matematička objekta povezana s diferencijabilnim funkcijama.
Što je izvedenica?
Derivat funkcije mjeri brzinu kojom se vrijednost funkcije mijenja kako se mijenja njezin ulaz. U funkcijama s više varijabli, promjena vrijednosti funkcije ovisi o smjeru promjene vrijednosti neovisnih varijabli. Stoga se u takvim slučajevima bira određeni smjer i funkcija se diferencira u tom određenom smjeru. Taj se derivat naziva usmjerenim derivatom. Djelomični derivati posebna su vrsta usmjerenih derivata.
Izvedenica vektorski vrijedne funkcije f može se definirati kao granica
gdje god konačno postojala. Kao što je prije spomenuto, ovo nam daje brzinu povećanja funkcije f duž smjera vektora u. U slučaju jednoznačne funkcije, to se svodi na poznatu definiciju izvoda,
Na primjer,
svugdje se može diferencirati, a izvedenica je jednaka granici
koja je jednaka
. Izvodi funkcija kakve
postoje svugdje. Oni su jednaki funkcijama
Ovo je poznato kao prva izvedenica. Obično se prvi izvod funkcije f označava s f (1). Pomoću ove oznake moguće je definirati derivate višeg reda.
je izvedbeni smjer drugog reda i označavajući n- ti izvod f (n) za svaki n
definira n- ti izvod.
Što je diferencijal?
Diferencijal funkcije predstavlja promjenu funkcije s obzirom na promjene u neovisnoj varijabli ili varijablama. U uobičajenom oznake za određenu funkciju f jedne varijable x, ukupna razlika od reda 1 df daje,
. To znači da će za infinitezimalnu promjenu x (tj. Dx) doći do promjene af (1) (x) dx u f.
Koristeći ograničenja, na kraju se može dobiti ova definicija kako slijedi. Pretpostavimo da je ∆ x promjena x u proizvoljnoj točki x i da je f odgovarajuća promjena funkcije f. Može se pokazati da je ∆ f = f (1) (x) ∆ x + ϵ, gdje je ϵ pogreška. Sada je ograničenje ∆ x → 0 ∆ f / ∆ x = f (1) (x) (koristeći prethodno navedenu definiciju derivata) i na taj način, ∆ x → 0 ϵ / ∆ x = 0. Stoga je moguće zaključimo da je ∆ x → 0 ϵ = 0. Sada, označavajući ∆ x → 0 ∆ f kao df i ∆ x → 0 ∆ x kao dx, definicija diferencijala se rigorozno dobiva.
Na primjer, diferencijal funkcije
je
U slučaju funkcija dviju ili više varijabli, ukupni diferencijal funkcije definira se kao zbroj diferencijala u smjerovima svake od neovisnih varijabli. Matematički se to može reći kao
Koja je razlika između izvedenice i razlike?
• Izvedenica se odnosi na brzinu promjene funkcije, dok se razlika odnosi na stvarnu promjenu funkcije, kada je neovisna varijabla podvrgnuta promjeni.
• Izvod je dan s
ali diferencijal je s
