Slučajne varijable nasuprot raspodjeli vjerojatnosti
Statistički eksperimenti su slučajni eksperimenti koji se mogu ponavljati u nedogled s poznatim nizom ishoda. Uz takve eksperimente povezane su i slučajne varijable i raspodjela vjerojatnosti. Za svaku slučajnu varijablu postoji pridružena raspodjela vjerojatnosti definirana funkcijom koja se naziva kumulativna funkcija raspodjele.
Što je slučajna varijabla?
Slučajna varijabla je funkcija koja rezultatima statističkog eksperimenta dodjeljuje numeričke vrijednosti. Drugim riječima, to je funkcija definirana iz uzorka prostora statističkog eksperimenta u skup realnih brojeva.
Na primjer, razmotrite slučajni eksperiment dvaput okretanja novčića. Mogući ishodi su HH, HT, TH i TT (H - glave, T - priče). Neka varijabla X bude broj promatranih glava u eksperimentu. Tada X može poprimiti vrijednosti 0, 1 ili 2 i to je slučajna varijabla. Ovdje će slučajna varijabla preslikati skup S = {HH, HT, TH, TT} (prostor uzorka) na skup {0, 1, 2} na takav način da se HH preslika na 2, HT i TH preslikavaju se na 1, a TT preslikava na 0. U zapisu funkcije to se može zapisati kao, X: S → R gdje je X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 i X TT) = 0.
Postoje dvije vrste slučajnih varijabli: diskretne i kontinuirane, prema tome je broj mogućih vrijednosti koje slučajna varijabla može pretpostaviti najviše ubrojiv ili ne. U prethodnom primjeru slučajna je varijabla X diskretna slučajna varijabla jer je {0, 1, 2} konačan skup. Sada razmotrite statistički eksperiment pronalaženja težine učenika u razredu. Neka je Y slučajna varijabla definirana kao težina učenika. Y može uzeti bilo koju stvarnu vrijednost unutar određenog intervala. Dakle, Y je kontinuirana slučajna varijabla.
Što je raspodjela vjerojatnosti?
Distribucija vjerojatnosti je funkcija koja opisuje vjerojatnost slučajne varijable koja uzima određene vrijednosti.
Funkcija koja se naziva kumulativna funkcija raspodjele (F) može se definirati od skupa realnih brojeva do skupa realnih brojeva kao F (x) = P (X ≤ x) (vjerojatnost da X bude manja ili jednaka x) za svaki mogući ishod x. Sada se kumulativna funkcija raspodjele X u prvom primjeru može zapisati kao F (a) = 0, ako je a <0; F (a) = 0,25, ako je 0≤a <1; F (a) = 0,75, ako je 1≤a <2 i F (a) = 1, ako je a≥2.
U slučaju diskretnih slučajnih varijabli, funkcija se može definirati iz skupa mogućih ishoda u skup realnih brojeva na takav način da je ƒ (x) = P (X = x) (vjerojatnost da je X jednak x) za svaki mogući ishod x. Ova posebna funkcija ƒ naziva se funkcija mase vjerojatnosti slučajne varijable X. Sada se funkcija mase mase vjerojatnosti X u prvom određenom primjeru može zapisati kao ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, a ƒ (x) = 0 u suprotnom. Dakle, funkcija mase vjerojatnosti zajedno s kumulativnom funkcijom raspodjele opisat će raspodjelu vjerojatnosti X u prvom primjeru.
U slučaju kontinuiranih slučajnih varijabli, funkcija koja se naziva funkcija gustoće vjerojatnosti (ƒ) može se definirati kao ƒ (x) = dF (x) / dx za svaki x gdje je F kumulativna funkcija raspodjele kontinuirane slučajne varijable. Lako je vidjeti da ova funkcija zadovoljava ∫ƒ (x) dx = 1. Funkcija gustoće vjerojatnosti zajedno s kumulativnom funkcijom raspodjele opisuje raspodjelu vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable. Na primjer, normalna raspodjela (koja je kontinuirana raspodjela vjerojatnosti) opisana je pomoću funkcije gustoće vjerojatnosti ƒ (x) = 1 / √ (2πσ 2) e ^ ([(x-µ)] 2 / (2σ 2)).
Koja je razlika između slučajnih varijabli i distribucije vjerojatnosti?
• Slučajna varijabla je funkcija koja pridružuje vrijednosti prostora uzorka stvarnom broju.
• Distribucija vjerojatnosti je funkcija koja pridružuje vrijednosti koje slučajna varijabla može uzeti u odnosnu vjerojatnost pojave.
