Linearne vs nelinearne diferencijalne jednadžbe
Jednadžba koja sadrži barem jedan diferencijalni koeficijent ili izvod nepoznate varijable poznata je kao diferencijalna jednadžba. Diferencijalna jednadžba može biti linearna ili nelinearna. Opseg ovog članka je objasniti što je linearna diferencijalna jednadžba, što je nelinearna diferencijalna jednadžba, a koja razlika između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi.
Od razvoja matematičkog računa u 18. stoljeću od strane matematičara poput Newtona i Leibnitza, diferencijalna jednadžba igra važnu ulogu u priči o matematici. Diferencijalne jednadžbe od velike su važnosti u matematici zbog svog područja primjene. Diferencijalne jednadžbe u središtu su svakog modela koji razvijamo kako bi objasnili bilo koji scenarij ili događaj na svijetu bilo da se radi o fizici, inženjerstvu, kemiji, statistici, financijskoj analizi ili biologiji (popis je beskrajan). U stvari, sve dok račun nije postao ustaljena teorija, odgovarajući matematički alati nisu bili dostupni za analizu zanimljivih problema u prirodi.
Rezultat jednadžbi iz određene primjene računa može biti vrlo složen i ponekad nerazrješiv. Međutim, postoje oni koje možemo riješiti, ali mogu izgledati slično i zbunjujuće. Stoga su radi lakše identifikacije diferencijalne jednadžbe kategorizirane prema njihovom matematičkom ponašanju. Linearno i nelinearno je jedna od takvih kategorizacija. Važno je utvrditi razliku između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi.
Što je linearna diferencijalna jednadžba?
Pretpostavimo da su f: X → Y i f (x) = y, diferencijalna jednadžba bez nelinearnih članaka nepoznate funkcije y i njenih derivata poznata kao linearna diferencijalna jednadžba.
Nameće uvjet da y ne može imati više indeksne članove kao što su y 2, y 3, … i višestruke izvedenice poput
Također ne može sadržavati nelinearne pojmove poput Sin y, e y ^ -2 ili ln y. Poprima oblik,
gdje su y i g funkcije x. Jednadžba je diferencijalna jednadžba reda n, koja je indeks izvedenice najvišeg reda.
U linearnoj diferencijalnoj jednadžbi diferencijalni je operator linearni operator i rješenja tvore vektorski prostor. Kao rezultat linearne prirode skupa rješenja, linearna kombinacija rješenja također je rješenje diferencijalne jednadžbe. Odnosno, ako su y 1 i y 2 rješenja diferencijalne jednadžbe, tada je rješenje i C 1 y 1 + C 2 y 2.
Linearnost jednadžbe samo je jedan parametar klasifikacije, a može se dalje kategorizirati u homogene ili nehomogene te obične ili parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ako je funkcija g = 0, jednadžba je linearna homogena diferencijalna jednadžba. Ako je f funkcija dvije ili više neovisnih varijabli (f: X, T → Y) i f (x, t) = y, tada je jednadžba linearna parcijalna diferencijalna jednadžba.
Metoda rješenja diferencijalne jednadžbe ovisi o vrsti i koeficijentima diferencijalne jednadžbe. Najlakši slučaj nastaje kad su koeficijenti konstantni. Klasični primjer za ovaj slučaj je Newtonov drugi zakon gibanja i njegove različite primjene. Newtonov drugi zakon stvara linearnu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima.
Što je nelinearna diferencijalna jednadžba?
Jednadžbe koje sadrže nelinearne pojmove poznate su kao nelinearne diferencijalne jednadžbe.
Sve gore su nelinearne diferencijalne jednadžbe. Nelinearne diferencijalne jednadžbe je teško riješiti, stoga je potrebno detaljno proučiti kako bi se dobilo ispravno rješenje. U slučaju parcijalnih diferencijalnih jednadžbi, većina jednadžbi nema opće rješenje. Stoga se svaka jednadžba mora tretirati neovisno.
Navier-Stokesova jednadžba i Eulerova jednadžba u dinamici fluida, Einsteinove jednadžbe polja opće relativnosti dobro su poznate nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ponekad primjena Lagrangeove jednadžbe na varijabilni sustav može rezultirati sustavom nelinearnih parcijalnih diferencijalnih jednadžbi.
Koja je razlika između linearnih i nelinearnih diferencijalnih jednadžbi?
• Diferencijalna jednadžba, koja ima samo linearne članove nepoznate ili ovisne varijable i njenih derivata, poznata je kao linearna diferencijalna jednadžba. Ne sadrži pojam sa zavisnom varijablom indeksa većom od 1 i ne sadrži višestruki njegov derivat. Ne može imati nelinearne funkcije kao što su trigonometrijske funkcije, eksponencijalne funkcije i logaritamske funkcije s obzirom na ovisnu varijablu. Bilo koja diferencijalna jednadžba koja sadrži gore spomenute pojmove nelinearna je diferencijalna jednadžba.
• Rješenja linearnih diferencijalnih jednadžbi stvaraju vektorski prostor, a diferencijalni je operator također linearni operator u vektorskom prostoru.
• Rješenja linearnih diferencijalnih jednadžbi relativno su lakša i općenita rješenja postoje. Za nelinearne jednadžbe, u većini slučajeva, opće rješenje ne postoji i rješenje može biti specifično za problem. To rješenje čini mnogo težim od linearnih jednadžbi.
