Međusobno ekskluzivni i neovisni događaji
Ljudi često brkaju koncept međusobno isključivih događaja s neovisnim događajima. Zapravo su to dvije različite stvari.
Neka su A i B bilo koja dva događaja povezana sa slučajnim eksperimentom E. P (A) naziva se "Vjerojatnost A". Slično tome, možemo definirati vjerojatnost B kao P (B), vjerojatnost A ili B kao P (A∪B), a vjerojatnost A i B kao P (A∩B). Tada je P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).
Međutim, dva događaja za koja se kaže da se međusobno isključuju ako pojava jednog događaja ne utječe na drugi. Drugim riječima, ne mogu se istodobno pojaviti. Prema tome, ako se dva događaja A i B međusobno isključuju, tada je A∩B = ∅ i, prema tome, to implicira P (A∪B) = P (A) + P (B).
Neka su A i B dva događaja u prostoru uzorka S. Uvjetna vjerojatnost A, s obzirom na to da se B dogodilo, označava se s P (A | B) i definira se kao; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), pod uvjetom da je P (B)> 0. (inače nije definirano.)
Kaže se da je događaj A neovisan o događaju B, ako na vjerojatnost da se dogodi A ne utječe hoće li se B dogoditi ili nije. Drugim riječima, ishod događaja B nema utjecaja na ishod događaja A. Stoga je P (A | B) = P (A). Slično tome, B je neovisan o A ako je P (B) = P (B | A). Stoga možemo zaključiti da ako su A i B neovisni događaji, tada je P (A∩B) = P (A). P (B)
Pretpostavimo da je numerirana kocka valjana i lijep novčić bačen. Neka je A događaj koji je dobivanje glave, a B događaj koji kotrlja parni broj. Tada možemo zaključiti da su događaji A i B neovisni, jer taj ishod jednog ne utječe na ishod drugog. Prema tome, P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Budući da su P (A∩B) ≠ 0, A i B ne mogu se međusobno isključivati.
Pretpostavimo da urna sadrži 7 bijelih kuglica i 8 crnih kuglica. Događaj A definirajte kao crtanje bijelog mramora, a događaj B kao crtanje crnog mramora. Pod pretpostavkom da će svaki mramor biti zamijenjen nakon bilježenja njegove boje, tada će P (A) i P (B) uvijek biti isti, bez obzira na to koliko puta crpimo iz urne. Zamjena kuglica znači da se vjerojatnosti neće mijenjati od izvlačenja do izvlačenja, bez obzira koju smo boju odabrali na posljednjem izvlačenju. Stoga su događaj A i B neovisni.
Međutim, ako su se kuglice crtale bez zamjene, tada se sve mijenja. Prema ovoj pretpostavci, događaji A i B nisu neovisni. Crtanje bijelog mramora prvi put mijenja vjerojatnosti crtanja crnog mramora na drugom crtanju i tako dalje. Drugim riječima, svako izvlačenje utječe na sljedeće izvlačenje, pa pojedinačna izvlačenja nisu neovisna.
Razlika između međusobno isključivih i neovisnih događaja
- Međusobna ekskluzivnost događaja znači da nema preklapanja skupova A i B. Neovisnost događaja znači da dešavanje A ne utječe na zbivanje B.
- Ako se dva događaja A i B međusobno isključuju, tada je P (A∩B) = 0.
- Ako su dva događaja A i B neovisna, tada je P (A∩B) = P (A). P (B)
